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Thierry Ramond Math´ematiques Universit´e Paris Sud

e-mail: [email protected]

version du 5 mars 2015

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1 Exemples et Notions de base 6

1.1 Motivations . . . 6

1.2 La plus simple des ´equations diff´erentielles . . . 7

1.2.1 Résoudre une équation différentielle . . . 7

1.2.2 R´esolution des EDL scalaires d’ordre 1 homog`enes . . . 8

1.2.3 Solutions `a valeurs complexes . . . 9

1.2.4 R´esolution des EDL scalaires d’ordre 1 avec second membre . . . 10

1.2.5 Equations non r´esolues . . . 11

1.3 Une ´equation d’ordre 2 . . . 11

1.4 Une ´equation non-lin´eaire . . . 14

1.4.1 Des solutions de l’´equation y⁰ =−y² . . . 14

1.4.2 Retour sur la notion de solution . . . 14

1.5 Solutions maximales . . . 15

1.6 Probl`eme de Cauchy . . . 16

1.6.1 Mettons un peu d’ordre . . . 16

1.6.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz. Première visite . . . 18

1.6.3 Exemple : r´esolution de l’´equationy⁰ =−y² . . . 19

1.6.4 Exemple : r´esolution dey⁰ =ky−y² . . . 19

1.7 Equations diff´erentielles d’ordre sup´erieur . . . 21

1.7.1 Qu’est-ce qu’une ´equation diff´erentielle d’ordren? . . . 21

1.7.2 Se ramener à un système denéquations différentielles d’ordre 1 . . . 22

1.7.3 Au fait : c’est quoi un syst`eme diff´erentiel d’ordre 1 ? . . . 23

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d’ordre n. Premi`ere visite. . . 24

1.8 Syst`emes lin´eaires . . . 25

1.8.1 Qu’est-ce qu’un syst`eme lin´eaire ? . . . 25

1.8.2 Structure de l’ensemble des solutions . . . 26

1.8.3 Dimension de l’espace des solutions . . . 27

1.8.4 M´ethode de variation de la constante . . . 28

2 R´eduction des matrices 31 2.1 Matrice d’une application lin´eaire . . . 31

2.1.1 D´efinitions . . . 31

2.1.2 Changement de base . . . 32

2.1.3 Sous-espaces stables . . . 33

2.2 Valeurs propres et vecteurs propres . . . 34

2.2.1 D´efinitions . . . 34

2.2.2 Polynˆome caract´eristique . . . 37

2.2.3 Le th´eor`eme de Cayley-Hamilton . . . 38

2.3 Espaces propres généralisés . . . 39

2.3.1 Définition et propriétés . . . 39

2.3.2 Condition n´ecessaire et suffisante de diagonalisablit´e . . . 42

2.4 Forme normale de Jordan . . . 43

2.4.1 Matrices nilpotentes . . . 43

2.4.2 Forme normale de Jordan . . . 44

2.4.3 M´ethode pratique pour le calcul . . . 46

3 Syst`emes lin´eaires 48 3.1 Exponentielle de matrice . . . 49

3.1.1 Norme d’une matrice . . . 49

3.1.2 D´efinition . . . 50

3.1.3 La fonctiont7→e^tA . . . 51

3.1.4 Quelques propri´et´es . . . 53

3.1.5 Calcul de e^tA . . . 55

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3.2 Solutions des systèmes linéaires à coefficients constants . . . 56

3.2.1 Calcul effectif de e^tAX0 . . . 57

3.2.2 Solutions r´eelles . . . 58

3.2.3 Variation de la constante . . . 59

3.3 Systèmes linéaires à coefficients variables . . . 60

3.3.1 R´esolvante . . . 60

3.3.2 Syst`eme fondamental de solutions - Wronskien . . . 62

3.3.3 M´ethode de variation de la constante . . . 64

4 Existence et unicit´e 65 4.1 Le cas lin´eaire . . . 65

4.1.1 Formulation int´egrale . . . 65

4.1.2 Sch´ema de Picard . . . 66

4.1.3 Unicit´e . . . 67

4.2 Le cas autonome . . . 68

4.2.1 Fonctions Lipschitziennes . . . 69

4.2.2 Fonctions localement Lipschitziennes . . . 69

4.2.3 Existence dans le cas autonome . . . 70

4.3 Le cas g´en´eral . . . 71

4.3.1 Le th´eor`eme du point fixe . . . 72

4.3.2 Tonneau de s´ecurit´e . . . 73

4.3.3 Existence et unicit´e locale . . . 74

4.3.4 Solution maximale . . . 76

4.4 Existence globale . . . 76

4.4.1 Un crit`ere d’existence globale . . . 76

4.4.2 Qu’est-ce qui empˆeche une solution d’ˆetre globale ? . . . 78

4.4.3 Le lemme de Gronwall . . . 80

5 Stabilité et linéarisation 82 5.1 Portraits de phase des systèmes linéaires homogènes 2×2 à coefficients constants 83 5.2 Notions de stabilité . . . 86

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5.2.2 Cas des systèmes linéaires à coefficients constants . . . 87

5.3 Fonction de Lyapounov . . . 88

5.4 Lin´earisation et stabilit´e . . . 91

5.4.1 Système linéarisé . . . 91

5.4.2 Le crit`ere de Routh . . . 92

5.4.3 Le Th´eor`eme d’Hartman-Grobman . . . 93

6 Systèmes prédateurs-proies 95 6.1 Existence et unicité. Temps d’existence . . . 95

6.2 Points d’´equilibre . . . 96

6.3 Comportement global . . . 97

6.4 Une fonction de Lyapounov . . . 98

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Ce cours s’adresse à des étudiants de L3 en mathématiques, dans le cadre de l’UE Math318 du Département de Mathématiques d’Orsay. Peut-être pourra-t-il également intéresser un public plus large d’étudiants en sciences (physique, biologie. . .).

Le matériel présenté ici est inspiré de plusieurs sources, dont en particulier le livre de Jean- Pierre Demailly ”Analyse Numérique des équations différentielles”, dont je ne peux que re- commander très fortement la lecture. Il est également très proche de ce que l’on peut trouver dans les notes de cours préparées par Fran¸coise Issard-Roch.

Ces notes sont encore sous forme préliminaire. Tous les commentaires et les suggestions sont les bienvenus. Elles contiennent encore trop peu d’exemples, et le lecteur devra se reporter aux exercices proposés en Travaux Dirigées pour des illustrations des résultats présentés ici.

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Exemples et Notions de base

1.1 Motivations

La modélisation mathématique des phénomènes du monde réel passe très souvent par l’écriture d’une équation différentielle, qui décrit les variations de la quantité que l’on veut étudier en fonction d’un paramètre. C’est probablement Isaac Newton qui a le premier écrit et étudié des équations différentielles. Son principe fondamental de la dynamique s’écrit par exemple

mx⁰⁰(t) =F(x(t)),

où t 7→ x(t) décrit la trajectoire du centre de gravité d’un objet de masse m, soumis au champ de force x7→F(x). Il est d’ailleurs clair que pour connaˆıtre la positionx(t) de l’objet

`

a l’instant t, il faut connaˆıtre non seulement la règle qui gouverne les variations de cette fonction, mais aussi la position et la vitesse initiale du centre de masse. Dans le cas d’un objet se dépla¸cant verticalement sous l’action de l’attraction terrestre, supposée constante dans la région où le mouvement à lieu, et compte tenu de la résistance de l’air, l’équation différentielle ci-dessus s’écrit

mx⁰⁰(t) =−kx⁰(t) +mg,

oùk, g sont des constantes. Un autre exemple célèbre est celui du pendule : une massem est suspendue à l’extremité d’une corde de longueur`dont l’autre extrémité est fixe. L’angleθ(t) que fait, à l’instant t, le fil avec la verticale vérifie la relation

θ⁰⁰(t) +g

l sin(θ(t)) = 0.

Cette équation n’a pas de solution que l’on puisse exprimer simplement avec des fonctions connues. Il faut avoir à l’esprit que c’est le cas de la plupart des équations différentielles, même si les exercices proposés aux étudiants consistent souvent à trouver une solution explicite - c’est plus facile. L’étude d’une équation différentielle consiste la plupart du temps à décrire certaines propriétés des solutions sans les calculer, et c’est cela que ce cours a pour ambition de vous enseigner.

On trouve des équation différentielles dans tous les domaines de la physique. Par exemple la charge électriqueq(t) d’un condensateur dans un circuit RLC (résistance-bobine-condensateur),

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alimentée par une source de courant alternatif, doit vérifier l’équation Lq⁰⁰(t) +Rq⁰(t) + 1

Cq(t) =Ucos(ωt).

La biologie est aussi une source importante d’équations différentielles. Si l’on est amené à modéliser l’évolution d’une population de bactéries, on arrive naturellement à l’idée que le taux de croissance de leur nombre est proportionnel à ce nombre. Celui-ci est alors décrit par l’équation différentielle

N⁰(t) =kN(t),

oùkest une constante, que l’on pourra ajuster de sorte que la solution de l’équation co¨ıncide au mieux avec les données expérimentales. La modélisation des systèmes prédateurs-proies, due à Lotka et Volterra, est particulièrement éclairante. On étudiera des systèmes différentiels de la forme

y⁰₁(t) =ay1(t)−by1(t)y2(t), y⁰₂(t) =−cy₂(t) +dy₁(t)y₂(t),

Icia, b, cetdsont des constantes positives, et Volterra a postulé que les solutions (y₁(t), y₂(t)) décrivent l’évolution au cours du temps de la population de proies (des sardines, des lapins. . .) (y1(t)) et de leurs prédateurs (y2(t)) (des requins, des loups. . .). Ce type de système est

également très utilisé en économie,

Signalons enfin que les mathématiques elles-mêmes peuvent être source d’équations différen- tielles. Si l’on cherche les fonctions dérivables y telles quey(a+b) =y(a)y(b) pour tous réels a, b, on arrive très vite à l’équation y⁰ =ky oùk=y⁰(0). Il est d’ailleurs important de noter que résoudre l’équation

y⁰ =f(t, y),

c’est trouver les courbes (t, y(t)) dont le vecteur tangent au point d’abscissetest (1, f(t, y(t))).

1.2 La plus simple des ´ equations diff´ erentielles

On s’intéresse tout d’abord à l’équation différentielle très simple

(1.1) y⁰=a(t)y

qui modélise les phénomènes dont la vitesse de croissance est proportionnelle à la taille, avec un taux (le coefficient de proportionnalité) a(t) éventuellement variable dans le temps. On peux penser par exemple à l’évolution

— d’une population de bact´eries,

— d’une quantit´e de mati`ere radioactive,

— d’une somme d’argent plac´ee `a taux variable a(t).

1.2.1 Résoudre une équation différentielle

On veut résoudre cette équation, c’est-à dire trouver (soyons ambitieux) toutes les solutions de l’équation. Qu’est-ce que cela signifie ? On entend par là trouver toutes les fonctionst7→y(t) telles que pour toutt,

y⁰(t) =a(t)y(t).

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-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

-2 -1,6 -1,2 -0,8 -0,4 0,4 0,8 1,2 1,6

Figure1.1 – Le champ de vecteurs f(t, y) = (1, t²+y³)

Tout d’abord, pour que cette ´equation ait un sens, il est indispensable que y soit d´erivable.

Elle sera donc automatiquement continue. On va se placer dans le cas où la fonction a est continue. Si yest est une solution de l’équation,y⁰ sera donc continue. On peut alors préciser la question :

Soit a une fonction continue. R´esoudre l’´equation y⁰ = a(t)y, c’est trouver toutes les fonctions de classeC¹ telles quey⁰(t) =a(t)y(t) pour tout t.

Reste un point : pour quelst? Si aest d´efinie et continue sur l’intervalle ouvert I, il semble raisonnable de chercher toutes les fonctions y ∈ C¹(I) telle que, pour tout t ∈ I, y⁰(t) = a(t)y(t). Pour cette ´equation, on va voir dans un instant que c’est effectivement possible.

Pour d’autres équations, on va rapidement voir qu’il faut être moins gourmand. Au passage, l’ensemble C¹(I) étant beaucoup plus simple à définir et à manipuler lorsque I est ouvert (plutôt que fermé), on se placera dans ce cadre.

1.2.2 R´esolution des EDL scalaires d’ordre 1 homog`enes

Allons-y ! Dans le cas o`u a(t) est une fonction constante sur l’intervalle I, on doit trouver toutes les fonctionsy∈ C¹(I) telles que

(1.2) ∀t∈I, y⁰(t)−ay(t) = 0.

Il se trouve que lorsquey∈ C¹(I),

(e^−aty(t))⁰=e^−at(−ay(t) +y⁰(t)).

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Donc (1.2) ´equivaut `a

∀t∈I, (e^−aty(t))⁰= 0.

Nous voilà arrivé à une équation différentielle que l’on sait résoudre ! (1.2)⇐⇒ ∃C∈R, e^−aty(t) =C ⇐⇒ ∃C ∈R, y(t) =Ceât Autrement dit, on a prouvé que

Soita∈R. L’ensembleS des solutions de l’´equation y⁰=aysur l’intervalle ouvert I est S={t7→Ce^at, C ∈R}.

Passons au cas général où a(t) n’est pas forcément constante sur l’intervalle ouvert I. On essaye de procéder de la même manière, c’est-à dire trouver une fonction A(t) telle que

∀t∈I, y⁰(t)−ay(t) = 0⇐⇒ ∀t∈I, (e^−A(t)y(t))⁰ = 0.

Puisque (e^−A(t)y(t))⁰ = e^−A(t)(−A⁰(t)y(t) + y⁰(t)), on voit qu’il suffit de prendre pour A n’importe quelle primitive de la fonctiona. Cela tombe bien : puisque a est continue sur I, la fonctionaadmet des primitives sur cet intervalle. On a donc obtenu

Soita:I →Rune fonction continue sur l’intervalle ouvertI. L’ensembleS des solutions de l’´equation y⁰ =a(t)y sur I est

S ={t7→Ce^A(t), C ∈R}, o`uA:I →Rest une primitive de asurI.

1.2.3 Solutions `a valeurs complexes

Jusqu’ici, on n’a considéré que des fonctions à valeurs réelles. Que ce soit le coefficient a(t) où les solutionsy(t) de l’équation (1.1). Il peut arriver que l’on cherche les solutions à valeurs dansC, en particulier (mais pas exclusivement) quanda(t) est lui-même à valeurs complexes.

En relisant ce qui précède dans ce cadre, on arrive très facilement à

Soita:I →Cune fonction continue sur l’intervalle ouvertI. L’ensembleS des solutions

`

a valeurs complexes de l’équation y⁰ =a(t)y surI est S ={t7→CeÂ(t), C ∈C}, oùA:I →Rest une primitive de asurI.

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complexes. On aurait tort. Si a : I → C , la fonction a s’écrit a(t) = a1(t) +ia2(t) où a_1,2 :I → R sont deux fonctions à valeur réelles, respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de la fonctiona. Elles sont définies par

a1(t) = a(t) +a(t)

2 eta2(t) = a(t)−a(t)

2i ·

Ce sont donc des fonctions continues sur I, et les primitives de a sur I sont les fonctions A1+iA2 o`uA1 etA2 sont des primitives respectives dea1 eta2.

Exercice 1.2.1 Donner les primitives det7→e^3it.

Exercice 1.2.2 Montrer que si a est à valeurs réelles, et y une solution de (1.1) à valeurs complexes, alorsy₁= Rey ety₂ = Imy sont aussi des solutions. En déduire que

Lorsqueaest à valeurs réelles, il suffit de connaˆıtre les solutions de (1.1) à valeurs réelles pour connaˆıtre toutes les solutions de (1.1) à valeurs complexes.

1.2.4 R´esolution des EDL scalaires d’ordre 1 avec second membre

On complique un peu les choses. On s’intéresse maintenant aux équations différentielles de la forme

(1.3) y⁰=a(t)y+b(t),

o`uaetb sont deux fonctions continues sur l’intervalle ouvertI =]α, β[.

Proposition 1.2.3 L’ensemble des solutions à valeurs complexes de l’équation (1.3) surI est S={t7→eÂ(t)(C+

Z t α

e^−A(s)b(s)ds), C∈C}, o`u A est une primitive deasur I.

Preuve: Soit A une primitive deasur I. Supposons quey :I →C soit une solution de (1.3).

On pose, pour t∈I,w(t) =e^−A(t)y(t). On a

w⁰(t) =−a(t)e^−A(t)y(t) +e^−A(t)y⁰(t)

=−a(t)e^−A(t)y(t) +e^−A(t)(a(t)y(t) +b(t))

=e^−A(t)b(t).

Donc il existe une constante C∈Ctelle que w(t) =

Z t

e^−A(s)b(s)ds+C,

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et

y(t) =e^A(t)w(t) =e^A(t)(C+ Z t

α

e^−A(s)b(s)ds).

Réciproquement, on vérifie facilement que toutes les fonctionsy:t7→eÂ(t)(C+

Z t t0

e^−A(s)b(s)ds) sont des solutions de (1.3) surI.

On notera que le choix d’intégrer à partir deα est arbitraire, et n’importe quel autre élément de [α, β] ferait l’affaire (cela revient à changer la valeur de la constante C).

Remarque 1.2.4 Plus que la formule ci-dessus, il faut retenir la méthode qui y conduit, en particulier l’idée de changer de fonction inconnue pour se ramener à une équation que l’on sait résoudre.

1.2.5 Equations non r´esolues

On désigne ces équations sous le nom d’équations différentielles d’ordre 1, linéaires, inho- mogènes :

— d’ordre 1 parce que c’est le degré de dérivation le plus élevé qui apparait dans l’équation,

— linéaire parce que la partie homogène (celle où apparaissent y et ses dérivées) est linéaire par rapport ày, on y reviendra,

— inhomogène en raison de la présence deb6= 0 : la fonction nulle n’est pas solution de l’équation.

On dit parfois que les équations différentielles de la forme (1.3) sont des équations différentielles résolues, parce que la dérivée de plus haut degré s’écrit comme fonction des dérivées d’ordre inférieur, et l’on s’autorise à considérer comme équations différentielles, d’ordre 1 par exemple, des équations de la forme

(1.4) u(t)y⁰+v(t)y=g(t),

oùu, vetgsont des fonctions continues. Bien entendu, sur chaque intervalle où la fonctionu ne s’annule pas, (1.4) est équivalente à l’équation différentielle

y⁰=a(t)y+b(t),

avec a(t) = −v(t)/u(t) et g(t) = f(t)/u(t), que l’on sait maintenant résoudre. Par exemple l’équation (t+ 2)y⁰= 2−y n’est pas une équation différentielle résolue surR. Mais l’on peut tout de même se demander quelles sont les fonctions de classe C¹ sur R qui vérifient cette

´equation.

1.3 Une ´ equation d’ordre 2

On étudie maintenant les équations du type de celle obtenue pour décrire l’évolution de la charge dans un circuit RLC, c’est-à dire de la forme

(1.5) y⁰⁰+p(t)y⁰+q(t)y=f(t)

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Dans le cas où p et q sont des fonctions constantes, on peut comme pour l’équation (1.3) décrire très explicitement l’ensemble des solutions. On se concentre sur le cas où f = 0, autrement dit on considère l’équation

(1.6) y⁰⁰+py⁰+qy= 0,

et on traite le cas (le plus important) où p, q∈R. On reviendra plus tard, mieux armés, sur le cas où f 6= 0.

On peut deviner le résultat qui suit en essayant de trouver une solution de la formey:t7→e^rt. En calculant les dérivées de cette fonction, on voit que l’on doit nécessairement avoir

r²+pr+q= 0.

Cette relation est souvent appeléeéquation caractéristique de (1.6).

Proposition 1.3.1 Soitp, q∈R, etP(r) =r²+pr+q. On note∆ =p²−4qle discriminant du polynôme du second degré P. Soit S l’ensemble des solutions sur R à valeurs réelles de l’équation (1.6).

i) Si ∆>0, notant r1, r2∈Rles racines deP(r),

S ={t7→yc1,c2(t), yc1,c2(t) =c1e^r¹^t+c2e^r²^t, c1, c2 ∈R}, ii) Si ∆ = 0, notant r₀ ∈Rla racine de P(r),

S ={t7→yc1,c2(t), yc1,c2(t) =e^r⁰^t(c1t+c2), c1, c2 ∈R}, iii) Si ∆<0, notant δ∈R⁺ un r´eel tel queδ² =−∆,

S ={t7→y_c₁_,c₂(t), y_c₁_,c₂(t) =e^−pt/2 c₁cos(δt/2) +c₂sin(δt/2)

, c₁, c₂∈R},

Preuve: — On commence par le cas o`u ∆ = 0. Soit y(t) une solution de (1.6). On pose z(t) =e^−r⁰^ty(t) =e^pt/2y(t). On a

z⁰(t) = p

2e^pt/2y(t) +e^pt/2y⁰(t) z⁰⁰(t) = p²

4e^pt/2y(t) +pe^pt/2y⁰(t) +e^pt/2y⁰⁰(t) =e^pt/2(qy+py⁰+y⁰⁰) = 0.

Doncz(t) =c1t+c2pour certains réelsc1, c2, ety(t) est de la forme annoncée. Réciproquement, toutes les fonctions de cette forme sont des solutions de (1.6), ce qui prouve la proposition dans ce cas.

— On consid`ere maintenant le cas o`u ∆ > 0. Soit y(t) une solution de (1.6). Notant r1 =

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−p−√

∆

2 la plus petite racine de P, on pose z(t) =e^−r¹^ty(t). On a z⁰(t) =r1e^−r¹y(t) +e^−r¹^ty⁰(t)

z⁰⁰(t) = (r₁)²e^−r¹y(t)−2r₁e^−r¹^ty⁰(t) +e^−r¹^ty⁰⁰(t)

= [(r1)²−q]e^−r¹y(t)−[2r1+p]e^−r¹^ty⁰(t), o`u on a utilis´e le fait quey⁰⁰=−py⁰−qy. On a 2r₁+p=−√

∆ et (r₁)²−q=r²₁+ (r²₁+pr₁) =r₁(2r₁+p) =−r₁√

∆.

Donc

z⁰⁰(t) =√

∆[−r₁e^−r¹y(t) +e^−r¹^ty⁰(t)] =√

∆z⁰(t).

Posant v =z⁰, on a v⁰ =√

∆v, doncv(t) =Ae

√

∆t, et on en d´eduit que z(t) =c₂e

√

∆t+c₁, pour certains r´eelsc₁, c₂. Du coup

y(t) =c2e

√

∆te^r¹^t+c1e^r¹^t=c1e^r¹^t+c2e^r²^t,

comme annoncé. Réciproquement, toutes les fonctions de cette forme vérifient (1.6), et on a terminé la preuve de la proposition dans le cas ∆>0.

— Dans le cas ∆<0 on commence par chercher les solutions `a valeurs dansC. Soitδ >0 tel queδ² =−∆. On noter₁ = ^−p−iδ₂ etr₂ = ^−p+iδ₂ les racines complexes deP. Comme dans le cas o`u ∆>0, on pose z(t) =e^−r¹^ty(t), et on obtient

z⁰⁰(t) =iδz⁰(t).

On en déduit de la même manière que z(t) =z2eîδt+z1 pour certaines constantesz1, z2∈C, et

y(t) = (z₂e^iδt+z₁)e^r¹^t=z₂e^r²^t+z₁e^r¹^t.

On peut vérifier facilement que toutes les fonctions de cette forme vérifient l’équation (1.6).

Autrement dit, on a ´etabli que l’ensemble des solutions de (1.6) `a valeurs dansCest S_C={(R, y_z₁_,z₂), yz1,z2(t) =z1e^r¹^t+z2e^r²^t, z1, z2 ∈C}.

On cherche maintenant les fonctionsyz1,z2 ∈ S_Cqui sont `a valeurs r´eelles. Notantz1 =a1+ib1

etz2 =a2+ib2, on a

yz1,z2(t) =e^−pt/2[(a1+ib1)(cos(δt/2)−isin(δt/2)) + (a2+ib2)(cos(δt/2) +isin(δt/2))], et donc

Imy_z₁_,z₂(t) =e^−pt/2[(a₂−a₁) sin(δt/2) + (b₁+b₂) cos(δt/2))].

Pour que ce nombre soit nul pour toutt∈R, il faut et il suffit quea₂ =a₁ et queb₂ =−b₁, autrement dit quez2=z1 et dans ce cas,

yz1,z2(t) =e^−pt/2(2a1cos(δt/2) + 2b1sin(δt/2)), ce qui est bien la forme annonc´ee (prendre c1= 2a1 etc2 = 2a2).

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On reprend le modèle d’évolution du nombre de bactéries. L’équationN⁰(t) =kN(t) conduit

`

aN(t) =Ce^kt, donc à une population dont le nombre croit indéfiniment. Ce n’est évidemment pas très satisfaisant : les bactéries ont besoin de se nourrir, et la nourriture disponible est toujours en quantité limitée. Autrement dit, le nombre de bactéries doit se stabiliser (au moins) quand il devient grand. On est conduit à imaginer que ce nombre vérifie en fait l’équation différentielle

(1.7) y⁰=ky−y².

Le terme eny²est négligeable devantkypourypetit -doncydevrait croˆıtre exponentiellement tant qu’elle reste assez petite, mais devient prépondérant pour y grand - dans ce cas, la population devrait avoir tendance à diminuer.

1.4.1 Des solutions de l’´equation y⁰ =−y²

On reviendra sur la résolution de l’équation (1.7) en général, mais on se concentre pour l’instant sur le cas k= 0. Autrement dit, on veut résoudre l’équation

(1.8) y⁰ =−y²

N’ayant pas grand chose dans notre boite `a outil, on cherche parmi les fonctions que l’on connait celles qui v´erifient cette relation. On se souvient que, si a ∈ R, et pour t 6= a, (_t−a¹ )⁰ =−_(t−a)¹ ₂. Autrement dit, notant

y⁺_a : ]a,+∞[ → R

t 7→ _t−a¹ et

y⁻_a : ]− ∞, a[ → R t 7→ _t−a¹

on voit que pour touta∈R,y_a⁺est une solution de (1.8) sur ]a,+∞[, et quey_a⁻est une solution de (1.8) sur ]− ∞, a[. Chose un peu étrange, ces fonctions ne peuvent pas être prolongées en des fonctions C¹ sur R, donc en des solutions de (1.8) sur R, alors que l’équation a un sens pour touttdansR(les coefficients ne dépendent même pas det). Pour ajouter à la confusion, on pourra remarquer aussi que la fonction nulle est elle solution de (1.8) surR.

Pour clarifier les choses, on est donc contraint de préciser ce qu’on entend par équation différentielle, et de modifier une peu le sens que l’on a donné à la notion de solution.

1.4.2 Retour sur la notion de solution

Définition 1.4.1 Une équation différentielle scalaire d’ordre 1 s’écrit

(1.9) y⁰ =f(t, y),

(16)

Version

Pr ´eliminaire

oùf est une fonction continue surI×U à valeurs dansR,I etU étant des intervalles ouverts deR.

On dit que le couple (J, y), constitu´e d’un intervalle J ⊂I et d’une fonction y :J →R de classeC¹, est une solution de l’´equation lorsque

i) pour toutt∈J, on ay(t)∈U.

ii) pour toutt∈J, on ay⁰(t) =f(t, y(t)).

On est bien sûr obligé de vérifier la condition (i) pour que la condition (ii) ait un sens.

Exemple 1.4.2 i) L’équation (1.3) : y⁰ = a(t)y +b(t) s’écrit sous la forme (1.9) avec f(t, x) =a(t)x+b(t) définie et continue sur I×Rquanda etb sont continues surI. Les solutions que nous avons mises en évidence s’écrivent alors(I, yc), avecyc(t) =. . .. ii) L’équation (1.4) : u(t)y⁰+v(t)y =f(t) est une équation non-résolue, qui ne s’écrit pas

automatiquement sous la forme (1.9). On peut s’y ramener sur chaque intervalle o`u u ne s’annule pas.

iii) L’équation (1.5) : y⁰⁰+p(t)y⁰+q(t)y = f(t) est une équation du second ordre, donc ne s’écrit pas sous la forme (1.9).

iv) L’équation (1.7) : y⁰ =ky−y² s’écrit sous la forme (1.9) avecf(t, x) =kx−x², qui est une fonction continue (et mêmeC^∞) sur R×R, et qui ne dépend pas det.

Dans le cas particulierk= 0, on a trouv´e trois types de solutions :(R,0),(]− ∞, a[, y_a⁻) et(]a,+∞[, y_a⁺).

Pour distinguer les diff´erents cas que l’on vient de rencontrer, on utilise la

Définition 1.4.3 On dit que(J, y) est une solution globale de l’équation différentielle (1.9) lorsqueJ =I.

1.5 Solutions maximales

Supposons que l’on ait déterminé une solution (J, y) de l’équation différentielle (1.9) par un procédé quelconque, et que ce ne soit pas une solution globale (J 6=I). Il peut être possible de trouver un intervalleJ⁰ plus grand queJ sur lequel la fonctiony, ou plus exactement son prolongement, est encore solution de (1.9). . .

Considèrons par exemple l’équation différentielle scalaire d’ordre 1

(1.10) y⁰ =f(t, y) =√

y avecf :R×[0,+∞[→R.

(17)

Version

Pr ´eliminaire

— Pour c∈R, je note yc la fonction définie par yc(t) = (t−c)²/4 pour t≥c. On vérifie facilement que (]c,+∞[, y_c) est une solution de (1.10). On voit aussi que la fonctiony⁻_c définie pary_c⁻(t) = (t−c)²/4 pourt < cn’est pas solution de l’équation sur ]− ∞, c[.

Par contre, consid´erons la fonctionyec d´efinie surR par ye_c(t) =

(t−c)²/4 pour t≥c, 0 pour t < c.

Cette fonction estC¹ surR(il faut vérifier que yecest continue en 0, dérivable en 0 et que sa dérivée est continue en 0). De plus (R,yec) est une solution de (1.10). Puisqueyec

co¨ıncide avecy_clà où cette dernière est définie, on dit que la solution (R,ye_c) prolonge (]c,+∞[, y_c). De manière générale :

Définition 1.5.1 Soient(J1, y1)et (J2, y2)deux solutions de l’équation différentielle (1.9).

On dit que(J₂, y₂) prolonge (o`u est un prolongement de) (J₁, y₁) lorsqueJ₂ contient J₁, et y₂ co¨ıncide avec y₁ sur J₁ :

∀t∈I1, y2(t) =y1(t).

On dit que(I, y) est une solution maximale de (1.9) lorsqu’elle n’admet pas d’autre prolongement qu’elle-mˆeme.

Bien entendu, toute solution globale est maximale : que peut-on vouloir de plus qu’une solution définie sur tout l’intervalle où l’équation à un sens ? La réciproque est fausse : il y a des solutions maximales qui ne sont pas globales.

Dans le cas de l’équation y⁰ =−y², on a vu que la solution (]a,+∞[, t 7→ _t−a¹ ) ne peut pas être prolongée : s’il existait un prolongement strict ( ˜J ,y), on aurait n´˜ ecessairementa∈J˜, et

˜

y continue (C¹ mˆeme) en a. Or

t→alim⁺y(t) = lim˜

t→a⁺y(t) =−∞,

ce qui est absurde. Donc il s’agit d’une solution maximale, bien qu’elle ne soit pas globale.

Lorsqu’une solution n’est pas maximale, elle peut avoir plusieurs prolongements maximaux distincts. Reprenons l’´equation diff´erentielle (1.10) :y⁰ =√

y surR×[0,+∞[. (R,0) est une solution globale (donc maximale), de mˆeme que (R,ye_c). En particulier, la solution (]−∞,0[,0) admet comme prolongements maximaux (R,0) et (R, yc) pour tout c≥0.

1.6 Probl` eme de Cauchy

1.6.1 Mettons un peu d’ordre

On vient de le voir, une équation différentielle a en général beaucoup de solutions, même si l’on ne s’intéresse qu’aux solutions maximales. D’un autre côté, on peut raisonnablement penser

(18)

Version

Pr ´eliminaire

-2,5 0 2,5 5 7,5 10

2,5 5 7,5

y=(x-c)2/4

Figure 1.2 – Plusieurs prolongements maximaux de la solution (]− ∞,0[,0)

que lorsqu’une équation différentielle décrit l’évolution au cours du temps d’une quantité physique, celle-ci est entièrement déterminée par les conditions initiales. Par exemple, l’équation différentielle qui décrit l’évolution du nombre de bactéries dans une boˆıte de culture doit avoir une seule solution, dès lors qu’on connaˆıt la population initiale de bactéries dans la boˆıte. Ceci conduit à la notion de problème de Cauchy pour l’équation différentielle (1.9), pour lequel on espère avoir une solution unique.

Définition 1.6.1 Soitf une fonction continue deI×UdansR, oùIetU sont des intervalles ouverts deR. Soit t₀∈I ety₀ ∈Rⁿ. Résoudre le problème de Cauchy (ent₀)

(1.11)

y⁰=f(t, y), y(t₀) =y₀,

c’est trouver toutes les solutions maximales(J, y)de l’´equation diff´erentielley⁰ =f(t, y)telles quet₀ ∈J et y(t₀) =y₀.

Exemple 1.6.2 Dans le cas d’une équation linéaire scalaire du premier ordre, le problème de Cauchy s’écrit donc, poura, b∈ C⁰(I),

y⁰=a(t)y+b(t), y(t0) =y0,

On connait toutes les solutions maximales de l’équation. Ce problème est donc équivalent à la question de trouver parmi les fonctions

yc:t7→e^A(t)(c+ Z t

α

e^−A(s)b(s)ds).

(19)

Version

Pr ´eliminaire

0 0 c0

e^A(t⁰⁾(c0+ Z t0

α

e^−A(s)b(s)ds) =y0, c’est-`a-dire

c0 =y0e^−A(t⁰⁾− Z t0

α

e^−A(s)b(s)ds.

En pratique, on a intérêt à remplacer α par t0 dans l’expression générale de la solution, et on a, plus simplement

c0 =y0e^−A(t⁰⁾. Mieux, si on choisitA(t) =Rt

t0a(s)ds comme primitive dea, on a simplement c₀ =y₀.

L’exemple suivant montre que néanmoins, la situation n’est pas tout à fait aussi simple qu’on pourrait le souhaiter : il arrive qu’un problème de Cauchy ait plusieurs solutions.

Exemple 1.6.3 La fonction nulle est une solution sur R de l’équation différentielle y⁰ = 3|y|^2/3. La fonctionx7→x³ est également une solution sur R, et le problème de Cauchy (1.12)

( y⁰ = 3|y|^2/3, y(0) = 0, admet donc au moins deux solutions.

1.6.2 Le théorème de Cauchy-Lipschitz. Première visite

On verra plus tard cependant que sous des hypothèses relativement faibles sur la fonction f, il existe un intervalle ouvert J inclus dans I et contenant t0, tel que le problème (1.11) admette une et une seule solution dans J. Ce célèbre résultat porte le nom de Théorème de Cauchy-Lipschitz. C’est une des pierres angulaires de la théorie des équations différentielles, et nous passerons du temps à le démontrer dans toute sa généralité, et à décortiquer ses corollaires.

Pour pouvoir travailler confortablement, on admet provisoirement la

Proposition 1.6.4 (Théorème de Cauchy-Lipschitz - première version) Soit f :I×U → R une fonction continue, où I et U sont des intervalles ouverts deR. Soit aussi t₀∈I ety₀ ∈U. Sif est de classeC¹ sur I×U, alors le problème de Cauchy (1.11) admet une unique solution maximale (J, y).

Il faut noter que cet énoncé n’est certainement pas le meilleur possible. Il donne une condition suffisante d’existence et d’unicité, mais on verra que l’on peut l’affaiblir. D’ailleurs dans le cas des équations linéaires, on a vu que le problème de Cauchy admet une solution unique, même si la fonction f(t, x) =a(t)x+b(t) est supposée seulement continue par rapport àt.

(20)

Version

Pr ´eliminaire

Exercice 1.6.5 Pourquoi le Théorème de Cauchy-Lipschitz ne s’applique-t-il pas dans le cas de l’équation (1.10) ? et dans le cas de l’équation (1.12) ?

1.6.3 Exemple : r´esolution de l’´equation y⁰ =−y²

Pour illustrer l’une des fa¸cons d’utiliser ce théorème, on revient sur l’équation (1.8) :y⁰ =−y², que l’on va résoudre.

On commence par une remarque simple mais extrˆemement importante. La fonction f(t, x) =

−x² est C¹ sur R×R. Autrement dit le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique pour le problème de Cauchy

y⁰ =y², y(t₀) =y₀,

et ce pour tout (t₀, y₀)∈R². En particulier, pour tout t₀, il existe unique solution maximale pour le probl`emey⁰ =y², y(t0) = 0. On la connait : c’est (R,0).

Supposons alors que (J, y) soit une solution de l’´equation (1.8). On a l’alternative suivante :

— ou bien y est la fonction nulle (et J =R),

— ou bien y ne s’annule pas sur J.

En effet si y s’annule sur J, par exemple en t0, alors y est la fonction nulle en raison de ce qui pr´ec`ede.

Soit donc (J, y) une solution maximale qui n’est pas la solution nulle. Pour tout t∈J, on a y⁰(t) =−y²(t)⇐⇒ −y⁰(t)

y²(t) = 1⇐⇒ ∃C ∈R, 1

y(t) =t+C ⇐⇒ ∃C ∈R, y(t) = 1 t+C On a utilisé le fait que y ne s’annule pas sur J pour diviser l’équation par y(t)², puis on a intégré l’équation obtenue.

Donc, nécessairement, pour toutt∈J,y(t) = 1/(t+C) oùC est un réel. CommeyestC¹ sur J, J est un intervalle qui ne contient pas −C. Puisque (J, y) est maximale, on a forcément J =]− ∞,−C[ ou J =]−C,+∞[. On a déjà vu que (]− ∞, a[, yâ₋) et (]a,+∞[, y_a⁺) sont des solutions de (1.8). On a donc montré que

L’ensemble des solutions maximales de l’´equation y⁰ =y² surRest S ={(R,0),(]− ∞, a[, y^a₋),(]a,+∞[, y⁺_a), a∈R}.

1.6.4 Exemple : r´esolution de y⁰ =ky−y²

On résout maintenant l’équation (1.7) : y⁰ = ky−y², avec k > 0. Là encore, la fonction f(t, x) =kx−x²estC¹surR², donc le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique. En s’inspirant de ce qui précède, on cherche tout d’abord s’il y a des solutions constantes (la solution nulle

(21)

Version

Pr ´eliminaire

seulement si

ka−a² = 0⇐⇒a= 0 ou a=k.

On a donc deux solutions constantes, forc´ement globales, (R,0) et (R, k).

-5 0 5

-2,5 2,5

Figure 1.3 – Des solutions de l’´equationy⁰ =ky−y², avec k >0

Soit maintenant (J, y) une autre solution. S’il existe t₀∈J tel quey(t₀) = 0 ouk, alorsy est solution sur J du probl`eme de Cauchy

( y⁰ =ky−y², y(0) = 0 ouk.

Par unicit´e de Cauchy, y serait l’une des deux solutions constantes. C’est absurde, donc y(t) 6= 0 pour toutt∈J ety(t)6=kpour tout t∈J. On a mieux : puisque la fonction y est continue, on a

(a) ou bieny(t)<0 pour tout t∈J, (b) ou bieny(t)∈]0, k[ pour toutt∈J, (c) ou bieny(t)> k pour toutt∈J.

Graphiquement, ce phénomène est particulièrement parlant. Il s’agit bien sûr d’un principe général :

Lorsque le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique, les courbes représentatives de deux solutions distinctes d’une équation différentielle scalaire d’ordre 1 ne se coupent pas.

(22)

Version

Pr ´eliminaire

Exercice 1.6.6 Le d´emontrer.

Ce fait a aussi un int´erˆet pour le calcul des solutions. Si (J, y) est une solution de (1.7) qui n’est pas constante, alors, pour toutt∈J,

(k−y(t))y(t) =ky(t)−y²(t)6= 0.

Ainsi (J, y) est une solution de (1.7) si et seulement si

∀t∈J, y⁰(t) =ky(t)−y²(t)⇐⇒ ∀t∈J, y⁰(t)

k−y(t) +y⁰(t) y(t) =k, et en int´egrant

∃C∈R,∀t∈J, ln |y(t)|

|k−y(t)| =kt+C, ou encore

(1.13) ∃C >0,∀t∈J, |y(t)|

|k−y(t)| =Ce^kt.

Pour conclure, il faut maintenant discuter suivant les trois cas (a), (b) et (c). Pla¸cons nous dans le cas (a). On a y(t)<0 et k−y(t)>0 pour tout t∈J, donc (1.13) ´equivaut `a

∃C >0,∀t∈J, y(t)

y(t)−k =Ce^kt⇐⇒ ∃C∈R,∀t∈J, y(t) =k Ce^kt Ce^kt−1·

On notera de plus que l’on doit avoir y(t) < 0 pour tout t ∈ J, donc Ce^kt < 1 pour tout t ∈ J, c’est-`a-dire t < −¹_klnC. Autrement dit, si (J, y) est une solution maximale de (1.7) telle quey(t)<0 pour tout t∈J, il existeC >0 tel que

J =]− ∞,−1

klnC[ ety(t) =k Ce^kt Ce^kt−1·

On laisse au lecteur le soin de consid´erer les deux autres cas (b) et (c), et de confronter ses r´esultats avec la Figure 1.3.

1.7 Equations diff´ erentielles d’ordre sup´ erieur

1.7.1 Qu’est-ce qu’une ´equation diff´erentielle d’ordre n?

Jusqu’à présent, on s’est préoccupé essentiellement d’équations différentielles scalaires d’ordre 1, à l’exception des équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2 à coefficients constants.

De manière générale, voilà ce que l’on nomme équation différentielle scalaire d’ordre n.

(23)

Version

Pr ´eliminaire

Définition 1.7.1 Une équation différentielle d’ordrens’écrit (1.14) y⁽ⁿ⁾=F(x, y, y⁰, y⁰⁰, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾)

où F est une fonction continue sur I×U à valeurs dansRⁿ,I étant un intervalle ouvert de R, et U un ouvert deRⁿ.

On dit que le couple (J, y), constitu´e d’un intervalle J ⊂I et d’une fonction y :J →R de classeCⁿ, est une solution de l’´equation (1.14) lorsque

i) pour toutt∈J, on a(y(t), y⁰(t), y⁰⁰(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t))∈U. ii) pour toutt∈J, on ay⁽ⁿ⁾(t) =F(y(t), y⁰(t), y⁰⁰(t), . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t)).

Exercice 1.7.2 Donner la fonctionF,I et U dans les exemples de l’Introduction.

1.7.2 Se ramener à un système de n équations différentielles d’ordre 1 Pour énoncer des résultats théoriques, mais aussi parfois pour résoudre les équations d’ordre n, on préfère ramener une équation différentielle d’ordre n à un système de n équations différentielles d’ordre 1.

Commen¸cons par l’exemple de l’´equation (1.5) : y⁰⁰+p(t)y⁰+q(t)y = f(t). Supposons que (J, y) en soit une solution, et posons

Y :J →R², Y(t) =

y(t) y⁰(t)

. Puisquey est n´ecessairementC², la fonctionY est C¹ surJ et

Y⁰(t) =

y⁰(t) y⁰⁰(t)

=

0 1

−p(t) −q(t)

Y(t) + 0

f(t)

Autrement dit, (J, Y) est solution du système différentiel Y⁰(t) =G(t, Y(t)) oùG:I×R² →R² est la fonction définie par

G(t, X) =

0 1

−p(t) −q(t)

X+ 0

f(t)

=

x₂

−p(t)x₁−q(t)x2+f(t)

, avecX = (x₁, x₂)∈R². De manière générale

(24)

Version

Pr ´eliminaire

Proposition 1.7.3 SoitF :I ×U →Rune fonction continue, o`u I est un intervalle ouvert deR etU un ouvert deRⁿ. On noteG:I×U →Rⁿ la fonction d´efinie par

G(t, x1, . . . , xn) =





 x₂ x₃ ... x_n

F(t, x₁, . . . x_n)





 .

i) Si (J, y) est une solution de l’´equation diff´erentielle d’ordre n (1.15) y⁽ⁿ⁾ =F(x, y, y⁰, y⁰⁰, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾),

alors (J, Y), avecY(t) =





 y(t) y⁰(t) ... y⁽ⁿ⁾(t)







, est une solution du syst`eme diff´erentiel d’ordre 1

(1.16) Y⁰ =G(t, Y),

ii) R´eciproquement, si (J, Y) est une solution de (1.16), avec Y(t) =





 y1(t) y₂(t) ... yn(t)





 , alors

(J, y1) est une solution de (1.15).

La preuve de cette proposition est facile, et on laisse au lecteur le soin de la rédiger. On remarquera en particulier que siY estC¹ et vérifie le système (1.16), sa première composante y1 est bien une fonctionCⁿ.

1.7.3 Au fait : c’est quoi un syst`eme diff´erentiel d’ordre 1 ?

On formalise maintenant la notion de système différentiel d’ordre 1. La différence avec les

équations scalaires d’ordre 1, c’est que l’inconnue est une fonction vectorielleY :I →Rⁿ, ou, si l’on préfère, unn-uplet de fonctions (y1, . . . yn) (les composantes de la fonctionY).

Définition 1.7.4 Un système différentiel d’ordre 1 s’écrit

(1.17) Y⁰=F(t, Y),

où F est une fonction continue sur I×U à valeurs dansRⁿ,I étant un intervalle ouvert de R, et U un ouvert deRⁿ.

(25)

Version

Pr ´eliminaire

On dit que le couple(J, Y), constitu´e d’un intervalleJ ⊂I et d’une fonctionY :J →Rⁿde classeC¹, est une solution de l’´equation lorsque

i) pour toutt∈J, on aY(t)∈U.

ii) pour toutt∈J, on aY⁰(t) =F(t, Y⁰(t)).

(1.17) est bien d’un système d’équations. En effet, notant Y(t) = (y₁(t), . . . , y_n(t)) lesn coordonnées de la fonction Y :J →Rⁿ, et

F(t, x) = (F1(t, x), . . . , Fn(t, x))

lesn coordonnées de la fonction F :I×U →Rⁿ, l’équation (1.17) s’écrit plus explicitement

(1.18)











y₁⁰(t) = F1(t, y1(t), . . . , yn(t)), y₂⁰(t) = F2(t, y1(t), . . . , yn(t)),

... = ...

y⁰_n(t) = Fn(t, y1(t), . . . , yn(t)).

Par exemple, le syst`eme pr´edateurs-proies de Lotka et Volterra y⁰₁(t) =ay2(t)−by1(t)y2(t),

y⁰₂(t) =−cy₁(t) +dy1(t)y2(t), s’´ecrit Y⁰ =F(t, Y) avec

F :R×R² →R², F(t, x₁, x₂) = (ax₂−bx₁x₂,−cx₁+dx₁x₂).

1.7.4 Le théorème de Cauchy-Lipschitz pour les systèmes, et pour les

´

equations d’ordre n. Premi`ere visite.

Pour les systèmes d’ordre 1, on démontrera le même théorème de Cauchy-Lipschitz que pour les équations scalaires :

Proposition 1.7.5 (Théorème de Cauchy-Lipschitz - première version- cas des systèmes) Soit F :I×U →Rⁿ une fonction continue, où I est un intervalle ouvert de Ret U un ouvert de Rⁿ. Soit aussi t₀ ∈I et Y₀ ∈U. Si F est de classeC¹ surI×U, alors le problème de Cauchy

Y⁰ =F(t, Y) Y(t₀) =Y₀ admet une unique solution maximale (J, Y).

(26)

Version

Pr ´eliminaire

En rapprochant la Proposition 1.7.3 et ce qui précède, on comprend que la bonne notion de problème de Cauchy pour une équation différentielle d’ordrenest la suivante :

Définition 1.7.6 Soit F une fonction deR×Rⁿ dansR, définie et continue surI×U, où I est un intervalle ouvert deR, etU un ouvert deRⁿ. Soitt₀ ∈I et(y₀, y₁, . . . , yn−1)∈Rⁿ. Résoudre le problème de Cauchy (ent₀)

(1.19)

y⁰ =F(t, y)

y(t0) =y0, y⁰(t0) =y1, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0) =yn−1,

c’est trouver toutes les solutions (maximales) (J, y) de l’´equation diff´erentielle y⁰ = F(t, y) telles quet0 ∈J et y(t0) =y0, y⁰(t0) =y1, . . . , y⁽ⁿ⁻¹⁾(t0) =yn−1.

Le théorème de Cauchy-Lipschitz (la Proposition 1.7.5), appliqué au système d’ordre 1 corres- pondant, dit en effet que, lorsqueF estC¹, ce problème admet une unique solution maximale.

Typiquement, ce résultat dit que l’équation de Newton (une équation différentielle d’ordre 2) détermine de manière unique la trajectoire y(t) d’un mobile à condition que l’on spécifie sa position initialey(0) et sa vitesse initiale y⁰(0).

1.8 Syst` emes lin´ eaires

L’étude des systèmes linéaires va occuper une bonne partie de ce cours. Il y a au moins deux excellentes raisons pour cela. Tout d’abord, on va réussir à donner une expression explicite de toutes les solutions de ces systèmes. On verra ensuite que les propriétés des solutions de systèmes différentiels quelconques sont souvent (et on précisera dans quel cas) proches de celles de systèmes linéaires à coefficients constants bien choisis.

1.8.1 Qu’est-ce qu’un syst`eme lin´eaire ?

Il est temps de préciser pourquoi on parled’équations linéaires pour les équations différentielles de la forme (1.3) :y⁰=a(t)y+b(t). Pour chaquetfixé, posons`_t(x) =a(t)x+b(t). La fonction

`_t:R→Rest affine. Autrement dit h_t:x7→`_t(x)−`_t(0) est lin´eaire :

∀α₁, α2∈C,∀x_,x2∈R, ht(α1x1+α2x2) =α1ht(x1) +α2ht(x2).

On étend cette notion aux systèmes. SoitF :I×Rⁿ→Rⁿune fonction affine par rapport à sa variableX. Cela signifie que la fonction pour touttfixé, la fonctionH(t, X) =F(t, X)−F(t,0) est linéaire par rapport à X. Autrement dit, il existe une matrice A(t) telle que H(t, X) = A(t)X, et finalement, notant B(t) =F(t,0),

F(t, X) =A(t)X+B(t).

(27)

Version

Pr ´eliminaire

Définition 1.8.1 SoitF :I×Rⁿ→Rⁿune fonction continue, oùI est un intervalle ouvert deR. On dit que le système différentiel

(1.20) Y⁰ =F(t, Y)

est lin´eaire lorsqu’il existe deux fonctions A : I → M_n(R) et B : I → Rⁿ, forc´ement continues, telles que

F(t, X) =A(t)X+B(t)

Pour les connaisseurs, un système différentiel (ou une équation scalaire) est dit(e) linéaire lorsque la fonctionX7→F(t, X) est affine pour tout t. . .

Pour simplifier les prochains énoncés, nous allons admettre -provisoirement- le résultat suivant (cf. le Corollaire 4.4.3). On l’a d’ailleurs déjà démontré pour les équations linéaires scalaires d’ordre 1.

Proposition 1.8.2 Toutes les solutions maximales du syst`eme lin´eaire (1.20) sont globales.

Parlant d’une solution (J, Y) d’un système linéaire, on ne précisera donc plus l’intervalle J : on ne considère désormais que les solutions maximales, donc J =I.

1.8.2 Structure de l’ensemble des solutions

Les résultats qui suivent sont énoncés pour les systèmes linéaires, mais valent bien sûr aussi pour les équations linéaires scalaires. Ce sont des remarques tout à fait simples, mais cruciales.

Le syst`eme diff´erentiel

(1.21) Y⁰ =A(t)Y

est appeléesystème différentiel homogène associée à (1.20).

Proposition 1.8.3 SiY₁ etY₂ sont deux solutions du systèmeY⁰ =A(t)Y, alors pour tous α1, α2 ∈ C, la fonction α1Y1 +α2Y2 est aussi une solution. Autrement dit, l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène est un sous-espace vectoriel deC¹(I,Rⁿ).

Preuve.—Il suffit de remarquer que pour toutt∈I, (α₁Y₁+α₂Y₂)⁰(t) =α₁Y₁⁰(t) +α₂Y₂⁰(t) et que, notantH(t, X) =A(t)X,

H(t, α1Y1(t) +α2Y2(t)) =α1H(t, Y1(t)) +α2H(t, Y2(t)).

(28)

Version

Pr ´eliminaire

Proposition 1.8.4 Si Y1 et Y2 sont deux solutions du système linéaire Y⁰ = F(t, Y), alors Z =Y1−Y2 est une solution du système linéaire homogène associé.

Preuve.—Pour t∈I, on a

Z⁰(t) =Y₁⁰(t)−Y₂⁰(t) =F(t, Y1(t))−F(t, Y2(t)) =H(t, Y1(t))−H(t, Y2(t)) =H(t, Z(t)).

On en d´eduit le r´esultat connu sous le nom de principe de superposition :

Proposition 1.8.5 Soit Y0 une solution de l’équation (1.20). Toute solution Y de (1.20) s’écritY =Y0+Z, où Z est solution de l’équation différentielle homogène associée (1.21).

Autrement dit, pour trouverTOUTESles solutions de (1.20), il suffit de 1. trouver toutes les solutions Z de l’équation homogène associée (1.21) ; 2. trouverUNEsolution Y₀ de (1.20).

Pour les connaisseurs encore, le principe de superposition dit que l’ensemble des solutions d’un système linéaire est un espace affine, dont la direction est l’espace vectoriel des solutions de l’équation homogène associée.

1.8.3 Dimension de l’espace des solutions

On suppose toujours que A:I → M_n(R) est une fonction continue. On a vu que l’ensemble S_H des solutions du système linéaire homogène

(1.22) Y⁰ =A(t)Y

est un sous-espace vectoriel deC¹(I,Rⁿ). Dans le cas des ´equations scalaires (n= 1), on a vu aussi que

S_H ={t7→Ce^A(t), C∈R},

et qu’il s’agit donc d’un espace vectoriel de dimension 1, engendré par la fonction t7→ eÂ(t) par exemple. Grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz, on va démontrer la

Proposition 1.8.6 Soit A : I → M_n(R) est une fonction continue. L’espace vectoriel S_H des solutions du système linéaire homogèneY⁰ =A(t)Y est de dimensionn.

Preuve:Soitt0 ∈I. D’après la Proposition 1.7.5 (en fait la Proposition 4.3.7, puisqueF(t, X) = A(t)X n’est pas supposée de classeC¹), pour chaque X0 ∈Rⁿ le problème

(1.23)

Y⁰ =A(t)Y, Y(t0) =X0,

admet une unique solution, que je note (I, Y_X₀). L’application φ:X₀ 7→Y_X₀ de Rⁿ dansS_H est donc bijective :

(29)

Version

Pr ´eliminaire

X1 X2 1 2

— elle est surjective : siY ∈ S_H, on a Y =φ_Y_(t₀₎.

Montrons maintenant queφest lin´eaire. Pour X₁, X₂ ∈Rⁿ etα₁, α₂ ∈R, Y_α₁_X₁_+α₂_X₂ =α1Y_X₁ +α2Y_X₂.

Puisque Yα1X1+α2X2 est l’unique solution Y du système qui vérifie Y(t0) = α1X1+α2X2, il suffit de montrer que α₁Y_X₁ +α₂Y_X₂ est aussi une solution du même problème de Cauchy.

Le fait queα₁Y_X₁ +α₂Y_X₂ est une solution a déjà été démontré : S_H est un espace vectoriel.

Enfin

(α₁Y_X₁+α₂Y_X₂)(t₀) =α₁Y_X₁(t₀) +α₂Y_X₂(t₀) =λ₁X₁+λ₂X₂. La bijectionφ:R→ S_H est donc un isomorphisme d’espace vectoriel, et

dimS_H = dimφ(Rⁿ) = dimRⁿ=n.

En traduisant ce résultat dans le cas où le système d’ordre 1 que l’on considère provient d’une

´equation diff´erentielle scalaire d’ordren, on obtient la

Proposition 1.8.7 L’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire scalaire d’ordrenrésolue à coefficient continus est un sous-espace vectoriel de dimensionndeCⁿ(I,R).

1.8.4 M´ethode de variation de la constante

On a élucidé la structure de l’espace des solutions des solutions de l’équation homogène Y⁰=A(t)Y. Pour décrire l’ensemble des solutions de l’équation complèteY⁰=A(t)Y+B(t), il reste à en trouver UNE solution.

Voici un procédé bien connu pour les équations linéaires d’ordre 1 : la méthode de variation de la constante. On verra plus loin que cette procédure marche aussi pour les systèmes linéaires.

On consid`ere donc l’´equation, aveca, b:I →Rcontinues,

(1.24) y⁰=a(t)y+b(t).

On sait que les solutions de l’équation homogène associée y⁰=a(t)y

sont les fonctions de la formey(t) =Ce^A(t), o`u A(t) est une primitive de a(t) surI.

L’idée est la suivante : on cherche une solutiony de l’équation sous la forme y(t) =c(t)eÂ(t)