A.1 "Optimisation" par manipulation d’écoulement

Annexe A

Etude numérique du cylindre manipulé

Sommaire

A.1 "Optimisation" par manipulation d’écoulement . . . 215 A.2 Synchronisation des fréquences de l’écoulement . . . 219 A.3 Existence d’une valeur optimale pour l’angle maximal de contrơle . . . 221 A.4 Cas test : A=3 . . . 222

Ce chapitre présente les principaux résultats obtenus par l’étude numérique de la manipulation du cy- lindre. L’objectif est double, d’un cơté, cette expérimentation numérique permet de validera posteriori les résultats obtenus par modèles réduits POD et contrơle optimal, de l’autre, d’analyser la physique de l’écou- lement. Etant donné le caractère modèle d’écoulement décollé, une littérature relativement abondante s’est intéressée récemment au sillage d’un cylindre circulaire, citons pour l’essentiel Lu et Sato (1996); Chou (1997); Baek et Sung (1998); Mahfouz et Badr (2000); Baek et Sung (2000); Cheng et al. (2001a,b); Choi et al. (2002). Contrairement à certains de ces travaux qui s’intéressaient à l’évolution des caractéristiques physiques de l’écoulement en fonction du nombre de Reynolds, notre étude s’est limitée à une seule valeur du nombre de Reynolds, soitRe= 200qui correspond à la configuration que l’on cherche à contrơler. Cependant, nous avons considéré un domaine de variationD des paramètres de contrơleAet St beaucoup plus impor- tants que dans les travaux précités, et cela en dépis de cỏts de calcul relativement élevés. Les simulations numériques ont été réalisées pour une amplitudeA variant entre0,5 et 6,5par pas de0,5, et un nombre de StrouhalSt variant entre0,1et 1,0 par pas de0,1. Au final,130 simulations des équations de Navier-Stokes ont été réalisées. Seuls les résultats les plus importants pour la compréhension de ce mémoire sont présentés ici. Par ailleurs, le lecteur trouvera dans Bergmann (2004) :

– les isovaleurs de la vorticité en écoulement non contrơlé pourRe= 4,20,40,50,75,100,150,200 (solu- tions instationnaires stables),

– les isovaleurs de la vorticité en écoulement non contrơlé pour Re = 50,75,100,150,200 (solutions instationnaires stables),

– les isovaleurs de la vorticité en écoulement contrơlé pourRe= 200et des paramètres de contrơle variant surD,

– les évolutions temporelles des coefficients ắrodynamiques (traỵnée et portance) en écoulement non contrơlé et en écoulement contrơlé pour Re= 200et des paramètres de contrơle variant surD, – les densités spectrales de puissance et polaires des coeffcients ắrodynamiques pourRe = 200 et des

paramètres de contrơle variant surD,

– enfin, le bilan de puissance associé au contrơle pourRe = 200 et des paramètres de contrơle variant surD.

A.1 "Optimisation" par manipulation d’écoulement

Cette section présente de manière succincte une étude de contrơle en boucle ouverte. On recherche, par manipulation de l’écoulement, la loi de contrơle de forme sinusọdale qui minimise le coefficient de traỵnée

216

moyen sur D. Les cỏts de calcul liés à l’expérimentation numérique sont tellement importants que cette approche n’est pas une méthode adaptée pour l’optimisation en général et encore moins pour le contrơle d’écoulement en temps réel. Cependant, elle va permettre d’évaluer l’évolution du coefficient de traỵnée moyen de l’écoulement en fonction des paramètres de contrơle et ainsi de valider notre méthode d’optimisation.

Le coefficient de traỵnée moyen peut être estimé sur un nombre donné de périodes d’oscillations de celui-ci.

Cependant, comme nous le verrons par la suite, plusieurs fréquences peuvent être présentes dans l’écoulement, rendant alors cette méthode difficilement applicable. Dans cette étude, toutes les simulations d’écoulement ont atteint un régime asymptotique au bout d’un temps sans dimension égal à100. Le coefficient de traỵnée moyen est alors évalué entret= 100et t= 130¹.

0.9929 6.9876

1.3928

1.3878

1.3928

1.3878 1.3905

1.1728 1.0320 3.6306

2.5516

1.0529

1.3526 1.2327

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6

Amplitude

Strouhal

Figure

A.1 – Isovaleurs du coefficient de traỵnée moyen en fonction de l’amplitude et de la fréquence de forçage.

La figure A.1 représente les isovaleurs du coefficient de traỵnée moyen en fonction de l’amplitude et de la fréquence de forçage. Sur cette figure, une interpolation à l’aide de fonctions splines a été réalisée entre les valeurs obtenues par résolution des équations de Navier-Stokes. Le minimum global du coefficient de traỵnée 1. Il aurait sans doute été préférable de fixer une période d’observation plus longue. Ceci n’a pas été réalisé en raison du temps de calcul nécessaire.

moyen dans le domaineDde variation des paramètres est égal à 0,99. Cette valeur est atteinte lorsque les paramètres de contrôle A = 4,3 et St = 0,74 sont appliqués. On constate également que le minimum se situe dans une vallée assez plate. La recherche de minimum peut alors être assez difficile avec un algorithme d’optimisation. Le maximum est, quant à lui, localisé sur un pic assez étroit. La valeur de ce maximum est approximativement égale à7, et est obtenue pourA= 3,9etSt= 0,1.

Les figures A.2 et A.3 représentent respectivement les isovaleurs de la contribution de pression et de la contribution visqueuse au coefficient de traînée moyen. Dans ces deux cas, les résultats sont tracés en fonctions des paramètres de contrôleAet St. Bien que la contribution visqueuse soit assez faible, son apport modifie tout de même quelque peu la cartographie de la traînée de pression.

0.8209 6.5638

1.2957

1.2352

1.2352

1.1746 1.1440

0.9493 0.8696 3.5967

2.2645

0.8478

1.1313 0.9929

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6

Amplitude

Strouhal

Figure

A.2 – Isovaleurs de la contribution de pression du coefficient de traînée moyen en fonction

de l’amplitude et de la fréquence de forçage.

218

0.1716 0.4746

0.0926

0.1277

0.1804

0.2067 0.2419

0.2155 0.1672 0.0486

0.2946

0.1892

0.2375

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6

Amplitude

Strouhal

Figure

A.3 – Isovaleurs de la contribution visqueuse du coefficient de traînée moyen en fonction de

l’amplitude et de la fréquence de forçage.

A.2 Synchronisation des fréquences de l’écoulement

Lorsque l’écoulement manipulé oscille de manière globale à la fréquence de forçageStf, on dit qu’il y a accrochage en fréquence. Dans ce cas, on parle delock-on flow. De plus, lorsque la fréquence de forçage est égale à la fréquence naturelleStn de l’écoulement, on parle alors delock-in flow.

Sur les figures A.4 et A.5 sont représentées, de deux manières différentes, les zones de l’espace des para- mètres de contrôle correspondant respectivement aux états "lock-on" et "no lock-on" de l’écoulement. Comme nous l’avons déjà évoqué dans l’introduction de ce chapitre, les autres études numériques, réalisées dans la littérature sur l’écoulement de sillage manipulé, ont un domaine plus restreint de variation des paramètres de contrôle de l’écoulement. Souvent l’amplitudeAne varie que de0 à3. Sur le domaine commun de variation des paramètres de contrôle de l’écoulement, nos résultats de sélection de fréquence sont qualitativement en accord avec ceux déterminés précédemment (Lu et Sato, 1996; Chenget al., 2001a,b; Choiet al., 2002). Par ailleurs, nos simulations numériques permettent d’étendre ces précédents résultats à des valeurs plus élevées de l’amplitude de contrôleA.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6 7

A

Stf

Figure

A.4 – Écoulements "lock-on" et "no lock-on" en fonction de l’amplitude

et du nombre de Strouhal

de forçage.

Enfin, sur la figure A.6, nous avons représenté pour différentes valeurs croissantes du nombre de Strouhal de forçage situées hors de la zone de "lock-on" pourA = 3(voir figure A.5), l’évolution du pic du spectre de puissance du coefficient de portance. Afin d’obtenir une excellente précision sur la localisation de ces pics, permettant ainsi de conclure, nous avons réalisé des simulations numériques sur un temps adimensionel de 1000, soit ∆St = 0,001. On constate alors, conformément aux résultats présentés par Baek et Sung (2000), que lorsque le nombre de Strouhal de forçage augmente dans une zone de "no lock-on", un nouveau nombre de Strouhal caractéristique apparait, qui tend au fur et à mesure de l’augmentation du nombre de Strouhal de forçage vers le nombre de Strouhal naturelStn de l’écoulement.

220

A

Stf/Stn

Lock-in Lock-on No lock-on

No lock-on

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

Figure

A.5 – Bande fondamentale "lock-on" et iso-contours de vorticité

dans le sillage proche.

0.16 0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22

-100 -75 -50 -25 0 25 50

Spectredepuissance(dB)

Strouhal

Stf = 0,9

Stf = 1,0 St_n

Figure

A.6 – Evolution des spectres de puissance du coeffcient de portance pour

et trois

valeurs croissantes du nombre de Strouhal de forçage comprises en dehors de la zone de "lock-on".

A.3 Existence d’une valeur optimale pour l’angle maximal de contrôle

Pour un couple de paramètres de contrôle donné, l’angle maximal de rotation peut être évalué de la manière suivante :

Θ = max

t {θ(t)}= A πSt.

Pour les différents nombres de Strouhal étudiés, la figure A.7 représente le coefficient de traînée moyen en fonction de l’angle maximal de rotation. Par ailleurs, pour chaque nombre de Strouhal, la figure A.8 représente l’angle maximal de rotation qui produit le coefficient de traînée minimal. Cet angle est notéΘopt. Il semble qu’il existe une valeur optimale,Θmax, pour l’angle maximal de rotation. La réduction de traînée maximale est obtenue, en moyenne, aux alentours de Θopt = 95^◦, et ce, pour toutes les fréquences étudiées. On pose alorsΘmax= 95^◦.

0 30 60 90 120 150 180 210

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4

St= 0,1 St= 0,2 St= 0,3 St= 0,4 St= 0,5 St= 0,6 St= 0,7 St= 0,8 St= 0,9 St= 1,0

CD(Θ)

Θ

Figure

A.7 – Evolution pour différents nombres de Strouhal du coefficient de traînée moyen en fonction de l’angle maximal de rotation.

0 0.25 0.5 0.75 1

0 45 90 135 180

Θopt

St

Figure

A.8 – Angle maximal optimal de rota- tion en fonction du nombre de Strouhal.

Dans ce quit suit, on utilise les notations suivantes : CD min(St) = min

A∈RCD(Θ, St) et CDΘmax(St) =CD(Θmax, St).

On observe sur la figure A.9 une bonne concordance entre CD min et CDΘmax, et cela, pour toutes les fréquences étudiées. Les paramètres de contrôleAet Stqui correspondent au minimum de traînée semblent être dépendants. Il existe alors une relation optimale entre ces deux paramètres. PourΘmax= 95^◦, on a :

A/St= 5,2.

La figure A.10 représente la dépendance optimale des paramètres de contrôle, ainsi que cette forme li- néaire prédite.

En d’autres termes, si l’on veut minimiser le coefficient de traînée moyen pour un nombre de Reynolds égal à200, les paramètres de contrôle ne doivent pas être choisis aléatoirement. Par exemple, si l’on souhaite utiliser une amplitude A= 2, il est nécessaire d’appliquer une fréquence égale à A/5,2, soit St = 0,38. De même, si l’on souhaite utiliser une fréquence égale àSt= 0,5, il faut appliquer une amplitude égale à5,2St, soitA= 2,6.

222

0 0.25 0.5 0.75 1

0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

C_{D min} CDΘ_max

CD

St

Figure

A.9 – Evolution du coefficient de traînée moyen en fonction du nombre de Strouhal.

0.9929 6.9876

1.3928

1.3878

1.3928

1.3878 1.3905

1.1728 1.0320 3.6306

2.5516

1.0529

1.3526 1.2327

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5 6

Amplitude

Strouhal

Figure

A.10 – Superposition des isovaleurs du coefficient de traînée moyen en fonction de l’am- plitude et de la fréquence de forçage avec les courbes de dépendance optimale des paramètres de contrôle (ligne rouge) et la forme linéaire pré- dite (ligne noire).

A.4 Cas test : A=3

Dans ce qui suit un cas test qui correspond à une amplitude de forçage fixée à une valeur A = 3 est présenté. Le nombre de Strouhal varie entreStf= 0,1etStf = 1,0par pas de0,1. La figure A.11 représente les isovaleurs de la vorticité ωz pour les différentes configurations étudiées. L’écoulement est en "lock-on"

pour les valeurs du nombre de Strouhal égaux àStf = 0,1jusqu’àStf = 0,65(par interpolation). Les valeurs deStf = 0,5 etStf = 0,6permettent d’obtenir des sillages quasi-symétriques par rapport à y= 0.

(a)A= 3 ;Stf = 0,1 (b) A= 3 ;Stf = 0,2

(c) A= 3 ;Stf = 0,3 (d) A= 3 ;Stf = 0,4

(e) A= 3 ;Stf = 0,5 (f)A= 3 ;Stf = 0,6

(g)A= 3 ;Stf = 0,7 (h) A= 3 ;Stf = 0,8

(i)A= 3 ;Stf = 0,9 (j)A= 3 ;Stf = 1

Figure

A.11 – Iso omega z.

224